Dibujar la inversión de las circunferencias concentricas dadas.
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Dado I y conocido P = P’
conocemos la circunferencia de autoinversión y la constante de inversión K.
Empezaremos obteniendo la
inversión de la circunferencia de radio interior. Esta circunferencia no pasa
por el centro de inversión.
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La inversión de una
circunferencia que no pasa por el centro de inversión es otra circunferencia
que tampoco pasa por el centro de inversión.
Ambas circunferencias serán homotéticas.
Obtenemos las tangentes a
la circunferencia interior desde I y los puntos de tangencia T1 y T2.
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Aplicamos el teorema del cateto, haciendo uso de la circunferencia de autoinversión, para obtener el punto T1'. |
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De la misma manera podemos
obtener T2’ y O’.
La circunferencia inversa
será aquella que pasa por los puntos inversos P’, T1’ y T2’.
Llamaremos C’ al centro de
la circunferencia inversa.
Vemos que el centro de la
circunferencia inversa, C’, no coincide con el inverso del centro de la
circunferencia O’.
Sin embargo los puntos de tangencia T1 y T2, sí se conservan en la inversión, T1' y T2'. |
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Vamos a buscar ahora la
inversión de la circunferencia exterior. Esta circunferencia pasa por el
centro de inversión.
La inversión de una
circunferencia que pasa por el centro de inversión es una recta que no pasa
por el centro de inversión.
En nuestro ejercicio, los
puntos T1’ y T2’ (inversos de T1 y T2 respectivamente) se encuentran sobre la
circunferencia exterior.
Si los consideramos como
puntos de la circunferencia exterior (mundo no inverso) sus inversos son los
puntos T1 y T2 (que ahora serían T1’’ y T2’’…) . La inversión es involutiva.
Luego la recta que buscamos (inversión
de la circunferencia exterior) es aquella que pasa por T1 y T2.
Vemos que esta recta también
pasa por C, el inverso de C’.
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sábado, 26 de marzo de 2016
Solución ejercicio 1 de inversión directa. Circunferencias concéntricas.
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