Solución ejercicio 2 de inversión directa (variante del ejercicio 1). Circunferencias concéntricas.

Se trata de las mismas circunferencias concéntricas del ejercicio 1 de inversión directa, pero se ha modificado el dibujo inicial, de manera que se corta la circunferencia interior radialmente pasando por los puntos T1 y T2 tangencia, obteniendose así los puntos Q1 y Q2 respectivamente sobre la circunferencia exterior.
Conocemos ya la inversión de la circunferencia interior y exterior. Los puntos inversos Q1’ y Q2’ se encuentran pues sobre la recta T1-T2 (inversión de la circunferencia exterior), además se encuentran sobre las rectas que unen I, centro de inversión, con los puntos Q1 y Q2 respectivamente. Fácilmente encontramos pues Q1’ y Q2’.	Solución ejercicio 1 de inversión. Circunferencias concéntricas.
Si quitamos los trozos mordidos de ambas circunferencias en el mundo inverso obtenemos el siguiente dibujo. Falta hallar la inversión de las rectas Q1-T1 y Q2-T2.
La inversión de una recta que no pasa por el centro de inversión es una circunferencia que pasa por el centro de inversión. Recordamos que la inversión de una circunferencia que pasa por el centro de inversión (circunferencia exterior) es una recta que no pasa por el centro de inversión (recta T1-T2). Luego la inversión de la recta Q1-T1 será la circunferencia que pasa por I, Q1’ y T1’. Idem para la recta Q2-T2, su inversión será la circunferencia que pasa por I, Q2’ y T2’.

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Solución ejercicio 1 de inversión directa. Circunferencias concéntricas.

Dibujar la inversión de las circunferencias concentricas dadas.
Dado I y conocido P = P’ conocemos la circunferencia de autoinversión y la constante de inversión K. Empezaremos obteniendo la inversión de la circunferencia de radio interior. Esta circunferencia no pasa por el centro de inversión.
La inversión de una circunferencia que no pasa por el centro de inversión es otra circunferencia que tampoco pasa por el centro de inversión. Ambas circunferencias serán homotéticas. Obtenemos las tangentes a la circunferencia interior desde I y los puntos de tangencia T1 y T2.
Aplicamos el teorema del cateto, haciendo uso de la circunferencia de autoinversión, para obtener el punto T1'.
De la misma manera podemos obtener T2’ y O’. La circunferencia inversa será aquella que pasa por los puntos inversos P’, T1’ y T2’. Llamaremos C’ al centro de la circunferencia inversa. Vemos que el centro de la circunferencia inversa, C’, no coincide con el inverso del centro de la circunferencia O’. Sin embargo los puntos de tangencia T1 y T2, sí se conservan en la inversión, T1' y T2'.
Vamos a buscar ahora la inversión de la circunferencia exterior. Esta circunferencia pasa por el centro de inversión. La inversión de una circunferencia que pasa por el centro de inversión es una recta que no pasa por el centro de inversión. En nuestro ejercicio, los puntos T1’ y T2’ (inversos de T1 y T2 respectivamente) se encuentran sobre la circunferencia exterior. Si los consideramos como puntos de la circunferencia exterior (mundo no inverso) sus inversos son los puntos T1 y T2 (que ahora serían T1’’ y T2’’…) . La inversión es involutiva. Luego la recta que buscamos (inversión de la circunferencia exterior) es aquella que pasa por T1 y T2. Vemos que esta recta también pasa por C, el inverso de C’.	Ir a la lección Ir a ejercicio 2 de inversión directa. Variante de este ejercicio.