Diédrico. Solución de un problema sencillo con y sin línea de tierra.

El problema que se plantea es un ejercicio básico: hallar el punto de intersección I, entre un plano α dado y una recta vertical R dada.

A) Resolución con línea de tierra.

Si resolvemos el problema en diédrico dibujando la línea de tierra, quiere decir que hemos fijado en el espacio el diedro de proyección, y con él, los planos de proyección. Fijados estos planos, podemos considerar las trazas vertical α1 y horizontal α2 del plano α dado. Estas trazas son las intersecciones del plano α con los planos vertical y horizontal de proyección respectivamente.

Por otro lado, tenemos también las proyecciones horizontal r1 y vertical r2 de la recta vertical R.

Para encontrar el punto I de intersección entre el plano α y la recta R, nos ayudamos de una recta T, horizontal de plano, que pasa por el punto I. La horizontal de plano es una recta contenida en el plano α  paralela al plano horizontal de proyección, por ello tiene:

• la proyección vertical t2 paralela a la traza horizontal α2 del plano α 
• y la proyección horizontal t1 paralela a la línea de tierra, 

como se ve en la figura:

Como el punto I pertenece a la recta R y a la recta T, su proyección I1 se encontrará en la intersección de la proyección r1 con la proyección t1, e I2 en la intersección de r2 con t2. Como r2 es un punto, I2 se encontrará en ese punto.
El problema en diédrico se plantea como sigue:

Para hallar el punto de intersección I, nos ayudamos de la recta horizontal de plano T tal y como comentábamos más arriba (haz clic en el boton play/pause para ver el proceso de resolución):

B) Si ahora consideramos que no hay línea de tierra ¿qué cambia?

Cambia la manera en la que definimos el plano α. Ahora no vamos a dibujar sus trazas α1 y α2, que vienen definidas por la intersección del plano α con los planos de proyección. Esta forma de representación depende de dónde coloquemos la línea de tierra y los planos de proyección. Sino fijamos estos elementos, necesitamos utilizar una manera más general de representar un plano.

¿Cómo se define un plano? 

Un plano viene definido por:

• tres puntos no alineados,
• una recta y un punto exterior a ella, 
• dos rectas que se cortan, o 
• 2 rectas paralelas.

Vamos a considerar aquí, que el plano viene definido por 3 puntos no alineados, A, B y C, de los que tendremos sus trazas horizontales A1, B1 y C1, y sus trazas verticales A2, B2 y C2. Por otro lado, la recta vertical R, vendrá definida por sus mismas proyecciones horizontal r1 y vertical r2.

 

Para encontrar las proyecciones del punto I, ya no nos ayudamos de una horizontal de plano que pasa por I, como hacíamos en la resolución con línea de tierra. Ahora,  nos ayudamos de una recta t paralela a uno de los lados del triángulo ABC, que pasa por I. En nuestro caso, consideraremos t paralela al lado AB. Las proyecciones de esta recta t son paralelas a las proyecciones de la recta AB y se obtienen fácilmente a partir de los puntos de intersección T1 y T2 de la recta t con los lados CB y CA del triángulo.

Como el punto I pertenece a t y a R, sus proyecciones I1 y I2 se encontrarán allí donde se corten las proyecciones de estas dos rectas: t1 con r1 y t2 con r2 respectivamente.
En diédrico, el proceso queda como sigue (hacer clic en el botón de play/pause para ver dinámicamente la construcción):

Inversión. Conceptos.

La inversión es una transformación geométrica en la que se cumple que dos puntos son inversos cuando:

• Están alineados. P y P' (inverso de P) están alineados con I, centro de inversión.
• El producto de las distancias IP x IP' es constante e igual a la constante de inversión K2. Concepto de potencia.

Recordemos rápidamente el concepto de potencia de un punto respecto a una circunferencia:

                                           PA x PA' = PB x PB' = PC x PC' = PT x PT' = K2

Por ello, todos los pares de puntos son inversos respecto del centro de inversión I = P.
A y A' son inversos, B y B' son inversos, C y C' son inversos y T es inverso de sí mismo. Es decir T = T', se dice que T es un punto doble.

La circunferencia con centro en el centro de inversión I=P y radio IT, sobre el dibujo anterior, es una circunferencia de puntos inversos de sí mismos, de puntos dobles, se llama circunferencia de autoinversión. Con el centro I y la circunferencia de autoinversión queda determinada la Inversión:

Dos pares de puntos inversos (A-A', B-B' de la figura de arriba) con el mismo centro de inversión (I = P) determinan siempre una circunferencia, son concíclicos.

Las rectas m y n que pasan por A-A' y B-B' respectivamente, son antiparalelas a las rectas r y r' que pasan por A-B y A'-B' respectivamente.

INVERSIÓN POSITIVA E INVERSIÓN NEGATIVA

Dos circunferencias dadas son homotéticas respecto de dos centros, uno positivo y otro negarivo. Si se considera que una es inversa de la otra, los centros de homotecia se corresponden con los centros de inversión, el positivo I+ y el negativo I-.

Cuando la potencia es positiva, los puntos inversos T1+ y T1'+ se encuentran al mismo lado del centro de inversión I+. Cuando la potencia es negativa, los puntos inversos T2- y T2'- se encuentran uno a cada lado del centro de inversión I-. Se puede ver esto gráficamente en la figura siguiente.

Cuando la inversión es positiva, existen puntos dobles hay una circunferencia de autoinversión. Podemos obtenerla como en la figura.
Todas la circunferencias que pasan por T1+ y T1'+ contienen puntos inversos respecto de I+ por tener todos igual potencia respecto de I+ (concepto de potencia y de haz elíptico de circunferencias). La circunferencia mínima que pasa por T1+ y T1'+ también, podemos encontrar así el punto doble T = T' y la circunferencia de autoinversión.

Cuando la inversión es negativa, no existen puntos dobles pero sí circunferencia inversa de sí misma, a ésta circunferencia podemos llamarla también circunferencia de autoinversión.
Al dibujar la circunferencia que contiene los punto T2-, T2'-, F- y F'-, vemos que en dicha circunferencia no exitente puntos dobles posibles, cada punto y su inverso están siempre uno a cada lado del centro de inversión I-.

IMAGEN DE UNA RECTA MEDIANTE UNA INVERSIÓN.

De la definición de inversión, queda claro que la inversión de una recta que pasa por el centro de inversión es ella misma.
Como se ve en la figura, la recta a que pasa por AD es la misma que la recta inversa a' que pasa por los respectivos puntos inversios A'D'. 

La imagen de una recta que NO pasa por el centro de inversión es una circunferencia que pasa por el centro de inversión.

Como la inversión es involutiva, la inversión de esta circunferencia que pasa por el centro de inversión será la recta que no pasa por el centro de inversión.

Partimos de la circunferencia c que pasa por I centro de inversión. Obtenemos el inverso de Q, Q' por el teorema del cateto. El inverso del punto S (alineado con el centro de la circunferencia O), S' es concíclico con Q, Q' y S.

El ángulo IQS tiene que ser recto por estar inscrito en una semicircunferencia, ppor antiparalelismo, tenemos que el ángulo SS'Q' también ha de ser recto. Esta situación se da para todos los puntos Q-Q' que conforman la circunferencia c, luego, la imagen de la circunferencia c es la recta c'.

IMAGEN DE UNA CIRCUNFERENCIA QUE NO PASA POR EL CENTRO DE INVERSIÓN.

Como ya se ha mostrado más arriba, al hablar de circunferencias homotéticas, dos circunferencias homotéticas son inversas si se toman los centros de homotecia como centros de inversión.

Luego, la imagen de una circunferencia que no pasa por el centro de inversión es otra circunferencia que tampoco pasa por el centro de inversión.




Se proponen los siguientes ejercicios de inversión directa.
Ejercicio 1 de inversión directa. Circunferencias concéntricas.
Ejercicio 2 de inversión directa (variante del ejercicio 1). Circunferencias concéntricas.




Referencias:
laslaminas
piziadas

Ejercicio 1 de inversión directa. Circunferencias concéntricas.

Dibujar la inversión de las circunferéncias concéntricas de la figura dados el centro de inversión I y un punto doble PP'.

Ir a la lección
Ir a la solución del ejercicio

Solución ejercicio 2 de inversión directa (variante del ejercicio 1). Circunferencias concéntricas.

Se trata de las mismas circunferencias concéntricas del ejercicio 1 de inversión directa, pero se ha modificado el dibujo inicial, de manera que se corta la circunferencia interior radialmente pasando por los puntos T1 y T2 tangencia, obteniendose así los puntos Q1 y Q2 respectivamente sobre la circunferencia exterior.
Conocemos ya la inversión de la circunferencia interior y exterior. Los puntos inversos Q1’ y Q2’ se encuentran pues sobre la recta T1-T2 (inversión de la circunferencia exterior), además se encuentran sobre las rectas que unen I, centro de inversión, con los puntos Q1 y Q2 respectivamente. Fácilmente encontramos pues Q1’ y Q2’.	Solución ejercicio 1 de inversión. Circunferencias concéntricas.
Si quitamos los trozos mordidos de ambas circunferencias en el mundo inverso obtenemos el siguiente dibujo. Falta hallar la inversión de las rectas Q1-T1 y Q2-T2.
La inversión de una recta que no pasa por el centro de inversión es una circunferencia que pasa por el centro de inversión. Recordamos que la inversión de una circunferencia que pasa por el centro de inversión (circunferencia exterior) es una recta que no pasa por el centro de inversión (recta T1-T2). Luego la inversión de la recta Q1-T1 será la circunferencia que pasa por I, Q1’ y T1’. Idem para la recta Q2-T2, su inversión será la circunferencia que pasa por I, Q2’ y T2’.

Ir a la lección

Solución ejercicio 1 de inversión directa. Circunferencias concéntricas.

Dibujar la inversión de las circunferencias concentricas dadas.
Dado I y conocido P = P’ conocemos la circunferencia de autoinversión y la constante de inversión K. Empezaremos obteniendo la inversión de la circunferencia de radio interior. Esta circunferencia no pasa por el centro de inversión.
La inversión de una circunferencia que no pasa por el centro de inversión es otra circunferencia que tampoco pasa por el centro de inversión. Ambas circunferencias serán homotéticas. Obtenemos las tangentes a la circunferencia interior desde I y los puntos de tangencia T1 y T2.
Aplicamos el teorema del cateto, haciendo uso de la circunferencia de autoinversión, para obtener el punto T1'.
De la misma manera podemos obtener T2’ y O’. La circunferencia inversa será aquella que pasa por los puntos inversos P’, T1’ y T2’. Llamaremos C’ al centro de la circunferencia inversa. Vemos que el centro de la circunferencia inversa, C’, no coincide con el inverso del centro de la circunferencia O’. Sin embargo los puntos de tangencia T1 y T2, sí se conservan en la inversión, T1' y T2'.
Vamos a buscar ahora la inversión de la circunferencia exterior. Esta circunferencia pasa por el centro de inversión. La inversión de una circunferencia que pasa por el centro de inversión es una recta que no pasa por el centro de inversión. En nuestro ejercicio, los puntos T1’ y T2’ (inversos de T1 y T2 respectivamente) se encuentran sobre la circunferencia exterior. Si los consideramos como puntos de la circunferencia exterior (mundo no inverso) sus inversos son los puntos T1 y T2 (que ahora serían T1’’ y T2’’…) . La inversión es involutiva. Luego la recta que buscamos (inversión de la circunferencia exterior) es aquella que pasa por T1 y T2. Vemos que esta recta también pasa por C, el inverso de C’.	Ir a la lección Ir a ejercicio 2 de inversión directa. Variante de este ejercicio.